36 Subay Problemi
Bulmacalarla aranız nasıldır? Kare kutuların içine kimi zaman harfleri kimi zaman rakamları doldurduk. Bu bulmaca ise her ikisinden de içerebilir. “Latin Karesi”ni duydunuz mu ya da onu duyduysanız “Grekolatin Karesi”ni duydunuz mu? Eğer duymadıysanız ya da duydunuz ama ne olduğunu bilmiyorsanız buyrun bakalım.
Özel bir matris türü olan Latin karesi, kombinasyon tasarımlarında ve istatistikte yapılan deneylerde geniş bir uygulama alanına sahiptir. ‘n’ elemanlı bir küme üzerinde ‘n x n’ boyutunda bir kare matrisin her satır ve sütununda kümenin bütün elemanları birer kez kullanılıyorsa buna Latin karesi denir. Latin karesi denmesinin sebebiyse, bu yapının ilk ortaya çıktığı sıralarda kümenin elemanlarının Latin harfleri olarak tanımlanmasındandır. Bu anlamanıza pek yardımcı olmadıysa şimdi bir örnek üzerinden açıklayayım o zaman.
‘2 x 2’ boyutlarında {1,2} kümesi üzerinde tanımlı sadece 2 tane latin karesi vardır.
‘3 x 3’ boyutlarında {1,2,3} kümesinde üzerinde tanımlı 12 tane latin karesi vardır ve yandaki şekil o olasılıklardan sadece bir tanesidir.
Yukarıda demiştim ya bu bulmaca hem rakam hem harf içerebilir diye, işte bunlara da Grekolatin kareleri ya da bilinen başka bir adıyla “Euler Kareleri” denir. Şekilde örneğini gördüğünüz üzere…
Bu önemli ön bilgileri verdikten sonra asıl konumuza geçelim, “36 Subay Problemi nedir?”, “Çözümü var mıdır?”, “Varsa nedir?”.
Bir savaşta olduğunuzu düşünün. 6 tane alay var ve bu alaylarda birbirlerinden farklı rütbelere sahip 6 tane subay var. Ordunun başında sizin olduğunuzu varsayarsak; “ ‘6 x 6'lık bir kare matriste her bir satır ve sütuna her alaydan bir temsilci yerleştirebilir misiniz?”
Bu sorunun ünlü olmasının nedenlerinden biri de matematiğin önde gelen isimlerinden olan Euler’in bu soru üstünde çalışmasından dolayıdır. Maalesef Euler bu soruya çalışmaları neticesinde bir çözümü olmadığına sezgilerine dayanarak karar vermiş.
Daha sonraları ise bu sorunun çözümünün olmadığına dair kesin bir kanıtı 19. ve 20. yüzyıllarda yaşamış olan Fransız matematikçi “Gaston Terry” ispatlamıştır. Onun ispatı da tüm olasılıkları deneyerek daha doğrusu öğrencilerine deneterek bu problemin bir çözümü olmayacağı kanısına varmasıdır.
Euler’in kesin bir kanıt vermemiş olmasına karşın Terry’in kanıtı niye ön planda değil diye düşünüyor olabilirsiniz. Bunun sebebinin Euler’in yaşadığı zamanın ve yüzyılın çok çok ötesinde bir matematikçi olmasıdır. Yani matematikçilerin düşünceleri bu yöndedir.
36 Subay problemi günümüzdeki sudoku da dahil olmak üzere birçok Latin ve Grekolatin karesi problemlerinde araştırılma yapılmasına ilham kaynağı olmuştur ve (bunu söylemezsek olmaz sanırım) matematikteki ve olasılıktaki “kombinasyon” alanına da büyük katkıda bulunmuştur.
Kaynaklar:
